如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.
(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)見解析(2)滿足條件的點(diǎn)N存在,其坐標(biāo)為
【解析】
試題分析:根據(jù)條件,可用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo),兩點(diǎn)式寫出直線的方程,并求出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo),消去參數(shù)即可得證.(2)假設(shè)存在點(diǎn)在直線上,使,
設(shè), ,, , 直線的斜率為,直線的斜率為 ,可寫出兩直線的方程,并分別與橢圓方程聯(lián)立組成方程級(jí),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合條件探究與的關(guān)系,從而確定關(guān)于的方程的根的存在性,也就是點(diǎn)的存在性.
試題解析:(1)由已知,得F(,0),C(,1).
由=λ,=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).
又E(0,-1),G(0,1),則
直線ER的方程為y=x-1, ①
直線GR′的方程為y=-x+1. ②
由①②,得M(,).
∵+()2===1,
∴直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上. 5分
(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)N(x0,y0)存在,則
直線NF1的方程為y=k1(x+1),其中k1=,
直線NF2的方程為y=k2(x-1),其中k2=.
由消去y并化簡,得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.
∵OP,OQ的斜率存在,∴x1≠0,x2≠0,∴k12≠1.
∴kOP+kOQ=+=+=2k1+k1·=k1(2-)=-.
同理可得kOS+kOT=-.
∴kOP+kOQ+kOS+kOT=-2(+)=-2·=-.
∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0,∴-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0.
由點(diǎn)N不在坐標(biāo)軸上,知k1+k2≠0,
∴k1k2=1,即·=1. ③
又y0=x0+2, ④
解③④,得x0=-,y0=.
故滿足條件的點(diǎn)N存在,其坐標(biāo)為(-,). 13分
考點(diǎn):1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法;2、直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用;3、平面向量的坐標(biāo)表示.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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