Question

（06年北京卷理）（14分）

在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”.

（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）；

（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項.

Answer 1

解析：（Ⅰ）,（答案不惟一）

（Ⅱ）因為在絕對差數(shù)列中,.所以自第 20 項開始，該數(shù)列是,,

即自第 20 項開始。每三個相鄰的項周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時，的極限

不存在.

當(dāng)時, ,所以
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項.證明如下
 假設(shè)中沒有零項，由于,所以對于任意的n，都有,從而
 當(dāng)時, ;
 當(dāng) 時,
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項 ，這與()
矛盾. 從而必有零項.
若第一次出現(xiàn)的零項為第項，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值 0，,  , 即

所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項.