Question

（2010•溫州一模）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，稱球面S：x²+y²+z²=1上的點(diǎn)N（0，0，1）為球極，連接點(diǎn)N與A（x，y，0）的直線交球面于
A′（x′，y′，z′），那么稱A′為A在球面上的球極射影，下列說(shuō)法中正確的是

（1），（2），（3）

．
（1）xOy平面上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的球極射影關(guān)于z軸對(duì)稱；
（2）在球極射影下，xOy平面上的點(diǎn)與球面S上的點(diǎn)（除球極外）是一一對(duì)應(yīng)的；
（3）點(diǎn)（

1

2

，

3

2

，0）的球極射影為該點(diǎn)本身；
（4）點(diǎn)（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）．

Answer 1

分析：（1）xOy平面上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的球極射影與點(diǎn)N構(gòu)成一個(gè)等腰三角形；（2）由球極射影的概念知，在球極射影下，xOy平面上的點(diǎn)與球面S上的點(diǎn)（除球極外）是一一對(duì)應(yīng)的；（3）點(diǎn)（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上；（4）點(diǎn)（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．

解答：解：（1）∵xOy平面上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的球極射影與點(diǎn)N構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，
等腰三角形的頂點(diǎn)是N，等腰三角形的另外兩個(gè)點(diǎn)就是xOy平面上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的球極射影，
∴它們關(guān)于z軸對(duì)稱．故（1）正確；
（2）由球極射影的概念知，在球極射影下，xOy平面上的每一個(gè)點(diǎn)都在球面上有一個(gè)唯一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；
反之，除球極N（0，0，1）之處，球面上的每一個(gè)點(diǎn)在xoy平面上都有唯一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．
∴在球極射影下，點(diǎn)xOy平面上的點(diǎn)與球面S上的點(diǎn)（除球極外）是一一對(duì)應(yīng)的．
故（2）正確；
（3）∵點(diǎn)（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上，
∴點(diǎn)（

1

2

，

3

2

，0）的球極射影還是點(diǎn)（

1

2

，

3

2

，0）
∴它的球極射影為該點(diǎn)本身．故（3）正確；
（4）∵點(diǎn)（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．
而（

2

3

，

1

3

，

2

3

）與（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）不重合．
∴（4）不正確．
故正確答案為：（1），（2），（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，正確理解球極射影這個(gè)新定義，注意轉(zhuǎn)化化歸思想的靈活運(yùn)用．