已知向量
a
=(sinx,cos(π-x)),
b
=(2cosx,2cosx),函數(shù)f(x)=
a
b
+1.
(Ⅰ)求f(-
π
4
)
的值;
(Ⅱ)求f(x)在[0,
π
2
]
上的最大值和最小值,并求出相應(yīng)的x的值.
分析:(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將f(x)化簡(jiǎn)為f(x)=sin2x-cos2x,從而可求f(-
π
4
)
的值;
(2)利用f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)
,由x∈[0,
π
2
]
可得2x-
π
4
∈[-
π
4
4
],從而可求其最大值和最小值及求出相應(yīng)的x的值.
解答:解:(Ⅰ)∵
a
=(sinx,cos(π-x)),
b
=(2cosx,2cosx),
∴f(x)=
a
b
+1=2sinxcosx-2cos2x+1
=sin2x-cos2x,…(4分)
f(-
π
4
)=-1
.…(6分)
(Ⅱ)f(x)=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)
.…(7分)
因?yàn)?span id="7yw11wu" class="MathJye">x∈[0,
π
2
],所以2x-
π
4
∈[-
π
4
4
]
.…(9分)
則當(dāng)2x-
π
4
=
π
2
時(shí),即x=
8
時(shí),f(x)的最大值是
2
;         …(11分)
當(dāng)2x-
π
4
=-
π
4
時(shí),即x=0時(shí),f(x)的最小值是-1.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域,著重考查三角函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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