Question

設x，y滿足

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

求
（1）z=x²+y²的最大值和最小值
（2）z=

y

x-5

的最大值和最小值
（3）z=|2x-y+4|的最大值和最小值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：

分析：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義求最小值．
（2）直線的斜率的最值求解即可．
（3）根據(jù)點到直線的距離公式，設d=

|2x-y+4|

22+1

=

|2x-y+4|

5

表示可行域內一點（x，y）到直線2x-y+4=0的距離的

5

倍．觀察圖形可得當可行域內點與B重合時，d達到最小值，由此即可算出z=|2x-y+4|最值．

解答： 解：（1）設z=x²+y²，則z的幾何意義為動點P（x，y）到原點距離的平方．
作出不等式組

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

對應的平面區(qū)域如圖
由圖象可知點A到原點的距離最大，
由

x-y+5=0 x=3

，可得A（3，8）
所以z=x²+y²的最大值為z=（3-0）²+（8-0）²=73．
x=0，y=0時，z=x²+y²的最小值為0．
（2）設P（x，y）為區(qū)域內的動點，可得
Z=

y

x-5

表示直線P、Q連線的斜率，其中Q（5，0）
運動點P，可得當P與A點重合時，Z=

8-0

3-5

=-4，取得最小值，k=-4，
當P與B點（3，-3）重合時，Z=

0+3

5-3

=

3

2

，達到最大值，
∴z=

y

x-5

的最大值和最小值分別為：

3

2

，-4．
（3）∵z=|2x-y+4|的幾何意義是可行域內的點到直線2x-y+4=0的距離的

5

倍，
∴d=

|2x-y+4|

5

，當可行域內的點在直線2x-y+4=0上時，距離最小，最小值為0，B到直線的距離最大，z=|2x-y+4|的最大值為：

5

×

|2×3-(-3)+4|

5

=13．

點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求幾個目標函數(shù)的最值和取值范圍．著重考查了平面內兩點的距離公式、點到直線的距離公式和簡單的線性規(guī)劃等知識點，屬于中檔題．