Question

如圖，△ABC為正三角形，EB⊥平面ABC，AD∥BE，且BE=AB=2AD，P是EC的中點(diǎn)．
求證：（1）PD∥平面ABC；
（2）EC⊥平面PBD．

Answer 1

證明：（1）取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ．
∵P是EC的中點(diǎn)，∴PQ∥BE，PQ=BE．
∵BE=AB=2AD．AD∥BE∴PQ∥AD，PQ=AD．
∴四邊形PQAD是平行四邊形，∴PD∥AQ，
又∵PD在平面PQAD外，AQ在平面PQAD內(nèi)，
∴PD∥平面ABC．
（2）∵BE=AB．△ABC為正三角形，∴BE=BC．
∵P是EC的中點(diǎn)，∴PB⊥EC．
∵EB⊥平面ABC，EB?平面EBC，∴平面EBC⊥平面ABC，
∵Q是BC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，∴AQ⊥BC．
∵平面EBC∩平面ABC=BC，AQ?平面BAC，∴AQ⊥平面EBC．
∵EC?平面EBC，∴AQ⊥EC，∵PD∥AQ，∴PD⊥EC．
∵PB、PD?平面PBD，PB∩PD=P．∴EC⊥平面PBD．
分析：（1）取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ，通過證明四邊形PQAD是平行四邊形，說明PD∥AQ，即可證明PD∥平面ABC．
（2）通過證明PB⊥EC，PD⊥EC．說明PB∩PD=P，即可證明EC⊥平面PBD．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與平面平行的證明方法，直線與平面垂直的證明，考查空間想象能力，基本定理的應(yīng)用．