Question

【題目】已知拋物線過點，該拋物線的準線與橢圓:相切，且橢圓的離心率為，點為橢圓的右焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩點，為平面上一定點，且滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）將點代入拋物線方程可得,即可得到準線方程,又由于橢圓相切可得,再利用橢圓的離心率求得,進而求解；

（2）分別討論直線斜率為0與直線斜率不為0的情況,利用斜率公式處理,對于直線斜率不為0的情況,設直線為,聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達定理可得的關系,代入中即可求解.

（1）拋物線過點,,即,

∴拋物線的準線為,∴,

又∵,∴,,

∴橢圓的標準方程為.

（2）由（1）,右焦點,

若直線斜率為0,則不妨設,,

∴,滿足條件,此時直線的方程為；

若直線的斜率不為0,設的方程為,

與橢圓的方程聯(lián)立得:,可得恒成立,

設,,由韋達定理得,,①

∴,

將①代入得,解得,

綜上所述,直線的方程為或.