已知集合對于,,定義A與B的差為A與B之間的距離為

   (Ⅰ)證明:,且;

   (Ⅱ)證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)

   (Ⅲ) 設(shè)P,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).

    證明:(P)≤

 

 

 

【答案】

 

【分析】:這道題目的難點主要出現(xiàn)在讀題上,這里簡要分析一下。

    題目所給的條件其實包含兩個定義,第一個是關(guān)于的,其實中的元素就是一個n維的坐標(biāo),其中每個坐標(biāo)值都是0或者1, 也可以這樣理解,就是一個n位數(shù)字的數(shù)組,每個數(shù)字都只能是0和1, 第二個定義叫距離,距離定義在兩者之間,如果直觀理解就是看兩個數(shù)組有多少位不同,因為只有0和1才能產(chǎn)生一個單位的距離,因此這個大題最核心的就是處理數(shù)組上的每一位數(shù),然后將處理的結(jié)果綜合起來,就能看到整體的性質(zhì)了。

    第一問,因為每個數(shù)位上都是0或者1,取差的絕對值仍然是0或者1,符合的要求。然后是減去C的數(shù)位,不管減去的是0還是1, 每一個a和每一個b都是同時減去的,因此不影響他們原先的差。

    第二問,先比較A和B有幾個不同(因為距離就是不同的有幾個),然后比較A和C有幾個不同,這兩者重復(fù)的(就是某一位上A和B不同,A和C不同,那么這一位上B和C就相同)去掉兩次(因為在前兩次比較中各計算了一次),剩下的就是B和C的不同數(shù)目,很容易得到這樣的關(guān)系式:,從而三者不可能同為奇數(shù)。

    第三問,首先理解P中會出現(xiàn)個距離,所以平均距離就是距離總和再除以,而距離的總和仍然可以分解到每個數(shù)位上,第一位一共產(chǎn)生了多少個不同,第二位一共產(chǎn)生了多少個不同,如此下去,直到第n位。然后思考,第一位一共m個數(shù),只有0和1會產(chǎn)生一個單位距離,因此只要分開0和1的數(shù)目即可,等算出來一切就水到渠成了。

    此外,這個問題需要注意一下數(shù)學(xué)語言的書寫規(guī)范。

   證明:(Ⅰ)設(shè)

    因為,所以

    從而

    由題意知[來源:Zxxk.Com]

    當(dāng)時,

    當(dāng)時,

    所以

   (Ⅱ)設(shè)

   

    記由(Ⅱ)可知

   

    所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為

    設(shè)是使成立的的個數(shù)。則

    由此可知,三個數(shù)不可能都是奇數(shù)

    即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。

   (Ⅲ),其中表示P中所有兩個元素間距離的總和,設(shè)P中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1,個0,

    則

       由于

    所以

    從而

 

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