Question

在數(shù)列{a_n}中，已知，a₁=2，a_n+1+a_n+1a_n=2 a_n．對(duì)于任意正整數(shù)n，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）若

n

i=1

ai(ai-1)＜M（M為常數(shù)，且為整數(shù)），求M的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，對(duì)于n∈N^*，a_n≠0，且

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)．由a₁=2，得

1

a1

-1=-

1

2

．則數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．由此可求出通項(xiàng)a_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

，i=1，2，…，n．
當(dāng)i≥2，

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)++(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)
=3-

1

2n-1

＜3．由此能求出M的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，對(duì)于n∈N^*，a_n≠0，且

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)．
由a₁=2，得

1

a1

-1=-

1

2

．則數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．于是

1

an

-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，即an=

2n

2n-1

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

，i=1，2，…，n．當(dāng)i≥2時(shí)，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，

所以

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)++(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)
=3-

1

2n-1

＜3．
又

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＞

21

(21-1)2

=2，
故M的最小值為3．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．注意公式的靈活運(yùn)用．