Question

關(guān)于x的方程x2+

1

x2

+a(x+

1

x

)+b=0有實(shí)數(shù)根，則a2+b2的最小值是（　　）

• A．

  2

  5

• B．1
• C．

  4

  5

• D．

  2

  5

Answer 1

分析：先整理函數(shù)方程解析式，設(shè)x+

1

x

=t進(jìn)而可知t的范圍，要使f（x）=0有實(shí)根需判別式大于等于0且小根小于-2或大根大于2，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理確定a和b的范圍，求得t²+at+b-2=0的根，根據(jù)t的范圍確定：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+k²-2=0則a²+b²的最小值即為原點(diǎn)到該直線的距離的平方，進(jìn)而根據(jù)d（t）的范圍求得a²+b²的最小值．

解答：解：設(shè)x+

1

x

=t，則t≥2或t≤-2
∵t²+at+b-2=0有實(shí)根，
∴△=a²-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
t²+at+b-2=0的解為t=-

1

2

（a±

a2-4b+8

），則|t|≥2．
將此方程作為關(guān)于a、b的方程，化簡得：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+k²-2=0
則a²+b²的最小值即為原點(diǎn)到該直線的距離的平方，
得d（t）=

|t2 -2|

t2+1

≥d²（t）=t²-5+

9

t2+1

≥d²（t）min=

4

5

，當(dāng)|t|=2時(shí)，等號成立．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了方程與函數(shù)的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵利用了數(shù)形結(jié)合的方法，要注意靈活應(yīng)用a²+b²的幾何意義即是：原點(diǎn)到該直線的距離的平方．