Question

函數(shù)f（u）=u²+au+b-2，其中u=x+

1

x

(x∈R，x≠0)．
（1）求u的取值范圍；
（2）若a、b是使f（u）=0至少有一個(gè)實(shí)根的實(shí)數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閤∈R，x≠0，所以分x＞0和x＜0兩種情況，利用均值不等式求解；
（2）因?yàn)樯婕岸�次方程根的分布�?wèn)題，所以利用二次函數(shù)圖象與二次方程的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，討論a、b的范圍，從而求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）∵x∈R，x≠0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，u=x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

，即x=1時(shí)取等號(hào)；
當(dāng)x＜0時(shí)，u=-[（-x）+（-

1

x

）]≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-

1

x

，即x=-1時(shí)取等號(hào)；
故u=x+

1

x

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)；
（2）f（u）=u²+au+b-2至少有一個(gè)實(shí)根時(shí)，
①f（-2）•f（2）≤0得(a2+b2)min=

4

5

②

f(-2)≤0 f(2)≤0

，得

2+b-2a≤0 2+b+2a≤0

，b≤-2，a2+b2≥4
③對(duì)稱軸|x|=|-

a

2

|＞2時(shí)，|a|＞4，a²+b²＞16
綜合①②③得(a2+b2)min=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式、一元二次函數(shù)、一元二次方程以及推理運(yùn)算能力，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．