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選修4-2　矩陣與變換
已知矩陣M=
a1
c0
的一個特征根為-1，屬于它的一個特征向量
1
-3
．
（1）求矩陣M；
（2）求曲線x2+y2=1經過矩陣M所對應的變換得到曲線C，求曲線C的方程．
考點：特征值與特征向量的計算,變換、矩陣的相等
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）根據二階矩陣與平面列向量的乘法，即可確定矩陣M；
（2）設曲線C上任意一點P（x0，y0），根據矩陣變換的公式求出對應的點P′（x，y），解出由x、y表示x0，y0的式子，將點P的坐標代入曲線C方程，化簡即得曲線C'的方程．
解答： 解：（1）由題意，
a1
c0
1
-3
=-
1
-3
，
∴
a-3=-1
c=3
，
∴a=2，c=3，
∴M=
21
30
；
（2）設P（x0，y0）是曲線C：x2+y2=1上任意一點，
則點P（x0，y0）在矩陣M對應的變換下變?yōu)辄cP′（x，y）
則有
x
y
=
21
30
x0
y0
，即
x0=
1
2
x-
1
6
y
y0=
1
3
y

又∵點P在曲線C：x2+y2=1上，
∴9x2-6xy+5y2=36，即曲線C'的方程為橢圓9x2-6xy+5y2=36．
點評：本題主要考查矩陣乘法與變換，考查了曲線方程的求法等基本知識，考查運算求解能力，
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設點P是以F1，F2為左、右焦點的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）左支上一點，且滿足
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF2F1=
2
3
，則此雙曲線的離心率為（　�。�
A、
3
B、
13
2
C、
5
D、
13

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）的圖象是一條開口向下的拋物線，且對任意x∈R，均有f（1-x）=f（1+x）   成立．下列不等式中正確的是（　�。�
A、f（
1
2
）＞f（
3
2
）
B、f（-1）＞f（2）
C、f（-1）＜f（2）
D、f（0）＜0

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科目：高中數學 來源： 題型：

設不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+3n
所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為f（n）（n∈N*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）設Sn為數列{bn}的前n項的和，其中bn=2f（n），問是否存在正整數n，t，使
Sn-tbn
Sn+1-tbn+1
＜
1
16
成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知矩陣A=
12
-2-3
，B=
01
1-2
．
（Ⅰ）求A-1以及滿足AX=B的矩陣X．
（Ⅱ）求曲線C：x2-4xy+y2=1在矩陣B所對應的線性變換作用下得到的曲線C′的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）滿足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤
π
2
）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，當水深為4cm時，求水面升高的瞬時變化率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足
OC
=-
OA
+2
OB
．
（1）試用
AB
表示
AC
；
（2）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0，
π
2
]，f（x）=
OA
•
OC
-2（m2+1）|
AB
|的最小值為
1
2
，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=
1
3
x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中a∈R．
1）若曲線y=f（x）過p（3，f（3））處的切線與直線y=x平行，求a的值；
2）若當x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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