Question

某校舉辦一場籃球投籃選拔比賽，比賽的規(guī)則如下：每個選手先后在二分區(qū)、三分區(qū)和中場跳球區(qū)三個位置各投一球，只有當前一次球投進后才能投下一次，三次全投進就算勝出，否則即被淘汰．已知某選手在二分區(qū)投中球的概率為

4

5

，在三分區(qū)投中球的概率為

3

5

，在中場跳球區(qū)投中球的概率為

2

5

，且在各位置投球是否投進互不影響．
（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在比賽中投球的個數記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．（注：本小題結果可用分數表示）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）記“該選手能投進第i個球”的事件為A_i（i=1，2，3），則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，由此能求了該選手被淘汰的概率．
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）記“該選手能投進第i個球”的事件為A_i（i=1，2，3），
則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，
∴該選手被淘汰的概率
P=P（

.

A1

+A1

.

A2

+A1A2

.

A3

）
=

1

5

+

4

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

=

101

125

．
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3，
P（ξ=1）=P（

.

A1

）=

1

5

，
P（ξ=2）=P（A1

.

A2

）=

4

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=3）=P（A₁A₂）=

4

5

×

3

5

=

12

25

．
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	8 25	12 25

∴Eξ=1×

1

5

+2×

8

25

+3×

12

25

=

57

25

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期限，是中檔題，在歷年高考中考都是必考題型．