Question

（2012•東城區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-

a

4

x+

3

2

（a∈R）．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)a≤0時(shí)，若任意給定的x₀∈[0，2]，在[0.2]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用f（x）的最大值大于g（x）的最大值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（I）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．-----------（6分）
（II） ①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1，g(x)=

3

2

，顯然不可能滿足題意；------------（7分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		極大值1-a		1+4a

------------------------------（9分）
又因?yàn)楫?dāng)a＜0時(shí)，g（x）=-

a

4

x+

3

2

在[0，2]上是增函數(shù)，
∴對(duì)任意x∈[0，2]，g(x)∈[

3

2

，-

a

2

+

3

2

]，-------------------------------（11分）
由題意可得-

a

2

+

3

2

＜1-a，解得a＜-1．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-1）．---------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，確定函數(shù)的最大值是關(guān)鍵．