Question

如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y²＝4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線．

Answer 1

答案：
解析：

解：點(diǎn)A，B在拋物線y2＝4px上， 設(shè)A（，yA），B（，yB），OA、OB的斜率分別為kOA、kOB． ∴． 由OA⊥OB，得kOA·kOB＝＝－1           ① 依點(diǎn)A在AB上，得直線AB方程 （yA＋yB）（y－yA）＝4p（x－）             ② 由OM⊥AB，得直線OM方程y=  ③ 設(shè)點(diǎn)M（x，y），則x，y滿足②、③兩式，將②式兩邊同時(shí)乘以－，并利用③式 整理得，yA2+yyA－（x2＋y2）＝0              ④ 由③、④兩式得－+yByA－（x2＋y2）＝0， 由①式知，yAyB＝－16p2， ∴x2＋y2－4px＝0． 因?yàn)?i>A、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以x≠0． 所以點(diǎn)M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．