Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是A₁B的中點(diǎn)，
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連接CE，證明EFDC是平行四邊形，可得DF∥CE，利用線面平行的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)CE⊥平面A₁AB和直線與平面垂直度的性質(zhì)可知CE⊥AF，進(jìn)而根據(jù)DF∥CE，判斷出AF⊥DF，同時(shí)AF⊥A₁B根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知AF⊥平面A₁BD．

解答：證明：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接EF，CE，
因?yàn)镕是A₁B的中點(diǎn)，所以EF是△A₁AB的中位線，
所以EF=

1

2

AA1，且EF∥AA₁，
又因?yàn)镈是CC₁的中點(diǎn)，所以EF∥CD，且EF=CD，
所以四邊形CDFE是平行四邊形，所以DF∥CE，
又CE?平面ABC，DF?平面ABC
所以DF∥平面ABC
（2）因?yàn)锳B=AA₁且F是A₁B的中點(diǎn)，所以AF⊥A₁B，
又因?yàn)镃E⊥平面A₁AB，且DF∥CE，
所以DF⊥平面A₁AB，
∵AF?平面A₁AB，
所以AF⊥DF，又A₁B∩DF=F，
所以AF⊥平面BDF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．