Question

(2007湖南，20)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)若動(dòng)點(diǎn)M滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)?若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：由條件知(－2，0)，(2，0)，設(shè)，． (1)設(shè)M(x，y)，則，，，．由得 即 于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，， 即． 因?yàn)?/FONT>A、B兩點(diǎn)在雙曲線上， 所以，，兩式相減得 ， 即． 將代入上式， 化簡(jiǎn)得． 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，求得M(8，0)，也滿足上述方程． 故點(diǎn)Ｍ的軌跡方程是． (2)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C(m，0)，使為常數(shù)． 當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k(x－2)(k≠±1)． 代入有． 則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根， 所以，． 于是 ． 因?yàn)?/FONT>是與k無關(guān)的常數(shù)，所以4－4m=0，即m=1，此時(shí)． 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可分別設(shè)為， 此時(shí)． 故在x軸上存在定點(diǎn)C(1，0)，使為常數(shù)．