Question

直線(xiàn)l與函數(shù)y=sinx（x∈[0，π]）的圖象相切于點(diǎn)A，且l∥OP，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圖象的極值點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)切點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，則

BA

•

BC

=

 

．

Answer 1

分析：直線(xiàn)l的斜率即為OP的斜率，即函數(shù)y=sinx在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)，得到 cosx₁=

2

π

，點(diǎn)斜式寫(xiě)出
AB直線(xiàn)的方程，求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，由

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² 求出結(jié)果．

解答：解：∵P（

π

2

，1），直線(xiàn)l的斜率即為OP的斜率

1-0

π 2 -0

=

2

π

，設(shè) A（x₁，y₁），
由于函數(shù)y=sinx在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)即為直線(xiàn)l的斜率，
∴cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-cos2x1

=

1- 4 π2

，
∴AB直線(xiàn)的方程為  y-y₁=

2

π

 （x-x₁ ），
令y=0 可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo) x_B =x₁-

π

2

 y₁，

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² =(

π

2

y1)2=

π2

4

×（1-

4

π2

）=

π2-4

4

，
故答案為：

π2-4

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)的斜率公式，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，以及兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題．