如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an2＋bn＋c(a、b、c為常數(shù))，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是c＝0．

答案：
解析：

　　證明：(1)充分性：由c＝0數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

　　由公式an＝＝

　　∴an＝2an＋b－a．

　　又an－an－1＝(2an＋b－a)－[2a(n－1)＋b－a]＝2a(常數(shù))．

　　∴{an}是等差數(shù)列．

　　(2)必要性：由數(shù)列{an}是等差數(shù)列c＝0．

　　由公式an＝＝

　　∴a1＝a＋b＋c，a2＝4a＋b－a＝3a＋b，a3＝6a＋b－a＝5a＋b．

　　∵{an}是等差數(shù)列．∴a3－a2＝a2－a1．

　　∴2a＝2a－c．∴c＝0．

　　綜上，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是c＝0．


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32
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