Question

已知PA⊥α，PB⊥β，A，，且A、B不重合如圖，求證：α與β相交．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：假設(shè)α與不相交，則α與β重合或平行．當(dāng)α與重合時(shí)， 與過點(diǎn)P有且只有一條直線與α垂直矛盾當(dāng)α∥β時(shí)， 與過點(diǎn)P有且只有一條直線與α垂直矛盾．于是假設(shè)不成立．故α與β相交．

提示：

假設(shè)α與β不相交，則α與β重合或平行．若α與β重合，則PA⊥α，PB⊥α和A、B不重合，可得過一點(diǎn)有兩條直線都垂直于同一平面，這是不可能的． 若α∥β，則由PB⊥β，可得PB⊥， 從而PA、PB都垂直于α，這是不可能的．