【題目】已知函數(shù)， （為常數(shù)）.

(Ⅰ) 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ) 若， ，且，都有成立，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，再由直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切的關(guān)系，聯(lián)立方程組求出的值；(Ⅱ)依題意不妨設(shè)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷及的單調(diào)性，可把等價(jià)轉(zhuǎn)化為，等價(jià)于，再構(gòu)造函數(shù)，即等價(jià)于 在區(qū)間上是增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合不等式恒成立的條件，即可求得實(shí)數(shù)的值.

試題解析：（Ⅰ）∵

∴，則

∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，

由得.

由，得.（還可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)求）

(Ⅱ)不妨設(shè)，

∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

∴，

∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，且.

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

∴，

∴，

等價(jià)于，

即，

等價(jià)于 在區(qū)間上是增函數(shù)，

等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，

等價(jià)于在區(qū)間上恒成立

∴

又∵

∴

點(diǎn)睛: 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,包括導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,屬于中檔題.本題在第2問(wèn)中注意解題思想:等價(jià)轉(zhuǎn)換,將原不等式轉(zhuǎn)化為求在上為增函數(shù),等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,分離出,轉(zhuǎn)化為求在上的最小值.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， （），且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最小值為，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，曲線(xiàn)C的方程為；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M．

(I)求直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程：

(II)若P為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離等于．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，求△的外接圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)＝λ．

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），且△PQF2的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程；

（2）若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[，]，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心離為，點(diǎn)滿(mǎn)足條件．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，記和的面積分別為、，求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)D中的任意兩數(shù)),恒有,則稱(chēng)為定義在D上的C函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)是否為定義域上的C函數(shù),并說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)是R上的奇函數(shù),試證明不是R上的C函數(shù);

(3)設(shè)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)任何實(shí)數(shù)以及D中的任意兩數(shù)),恒有,則稱(chēng)為定義在D上的π函數(shù). 已知是R上的π函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè),且,記. 對(duì)于滿(mǎn)足條件的任意函數(shù),試求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為， 是曲線(xiàn)與直線(xiàn)： （）的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)）．

（1）寫(xiě)出， 的直角坐標(biāo)方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)和直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．

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