Question

已知點(diǎn)A(x1，2x1)、B(x2，2x2)是函數(shù)y=2^x的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A（x₁，sin₁）、B（x₂，sinx₂）是函數(shù)y=sinx（x∈（0，π））的圖象上的不同兩點(diǎn)，則類似地有

 

成立．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=2^x的圖象可知，此函數(shù)的圖象是向下凹的，即可得到不等式

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

，再根據(jù)y=sinx（x∈（0，π））的圖象的特征，即可類比得到相應(yīng)的不等式．

解答：解：∵函數(shù)y=2^x上任意兩點(diǎn)A（a，a³），B（b，b³）線段AB在弧線段AB的上方，
函數(shù)f（x）=x³（x＞0）的圖象是向下凹的，
可得不等式

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

，
據(jù)此我們從y=sinx（x∈（0，π））圖象可以看出：
y=sinx（x∈（0，π））圖象是向上凸的，
故可知

sinx1+sinx2

2

＜sin

x1+x2

2

，
故答案為

sinx1+sinx2

2

＜sin

x1+x2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類比推理的知識(shí)點(diǎn)，還考查了數(shù)形結(jié)合思想，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凸凹性，常用方法是圖象法．