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2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的方程為y=3+x2+8x15
(1)寫(xiě)出曲線C的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)在曲線C上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,求矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍.

分析 (1)采用平方法,化簡(jiǎn)曲線C,根據(jù)x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得曲線C的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)由(1)可知曲線C,曲線C上取一點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo),利用三角函數(shù)的有界限求解矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍

解答 解:(1)曲線C的方程為y=3+x2+8x15
化簡(jiǎn)可得:(y-3)2=-x2+8x-15,(y≥3,3≤x≤5)
即:x2+y2-8x-6y+24=0,
可知圓心為(4,3),半徑r=1,
曲線C的一個(gè)參數(shù)方程為:\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù))
(2)由(1)可知曲線C圓心為(4,3),半徑r=1,(y≥3,3≤x≤5)的半圓.
設(shè)一點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo)為(4+cosθ,3+sinθ)(0≤θ≤π),
過(guò)點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,
∴|PA|=3+sinθ,|PB|=4+cosθ
∴矩形OAPB的周長(zhǎng)l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})],(0≤θ≤π)
當(dāng)θ=\frac{π}{4}時(shí),周長(zhǎng)l最大為14+2\sqrt{2}
當(dāng)θ=π時(shí),周長(zhǎng)l最小為12.
故得矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍是[12,14+2\sqrt{2}]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了普通方程化參數(shù)方程和利用參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界限問(wèn)題求解范圍問(wèn)題,屬于中檔題.

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A.3B.2C.0D.-2

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