（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面為矩形，且，

，，

 （Ⅰ）平面與平面是否垂直？并說明理由；

 （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

【答案】

（I）見解析；（Ⅱ）.

【解析】本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）第一問中要證明面面垂直關(guān)鍵是證明線面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二問先根據(jù)線面角的定義，作出線面角，然后利用直角三角形的邊角的關(guān)系求解的得到。

 

 （I）平面平面；    …………………1分

證明：由題意得且 

 又，則     …………………………3分

 則平面,                   ………………5分

 故平面平面              ………………7分

（Ⅱ）解法1：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為ｙ軸建立

空間直角坐標(biāo)系如右圖示，則,, 可得,  9分

平面ABCD的單位法向量為，           ……………………………………11分

設(shè)直線PC與平面ABCD所成角為，則  13分

則，即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分

解法2：

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB,                                 …………………………9分

在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則PE⊥平面ABCD，連結(jié)EC，

則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成的角，               …………………………11分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,

又

∴ …………………………13分

在Rt△PEC中.………………14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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（本題滿分14分）如圖2,為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪，另外△AEF內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)域不能占用，經(jīng)過測量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)該如何設(shè)計才能使草坪面積最大？

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（本題滿分14分）

         如圖，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，E是棱CC1上動點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，

   （1）求證：；

   （2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時，求證：CF//平面AEB1；

   （3）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由。

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（本題滿分14分）如圖,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為正方形, AE⊥平面CDE,已知AE=3,DE=4．

（Ⅰ）若F為DE的中點(diǎn),求證:BE//平面ACF；

（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值

 

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（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長都是1，平面平面，點(diǎn)在上移動，點(diǎn)在上移動，若（）

（I）求的長；

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（III）當(dāng)的長最小時，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

 

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   （1）求證：EF//平面ABC；

   （2）求證：平面平面C1CBB1；

   （3）求異面直線AB與EB1所成的角。

 

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