Question

設(shè){a_n}是集合{k|k可以表示成兩個或兩個以上的連續(xù)正整數(shù)的和}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，此數(shù)列的前n項和為S_n．
（1）試判斷13，26，32是不是數(shù)列{a_n}中的項，說明理由；
（2）求a₁₀₀，S₁₀₀．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由{a_n}性質(zhì)得13和26都是數(shù)列{a_n}中的項．兩個或兩個以上的連續(xù)正整數(shù)的和可表示為a_n=a+（a+1）+••+（a+m）=

(m+1)(2a+m)

2

．因為32不含大于1的奇因子，故32不是數(shù)列{a_n}中的項，不含大于1的奇數(shù)因子的正整數(shù)M都不能表示成兩個或兩上以上的連續(xù)正整數(shù)的和，在前100個正整數(shù)中，僅1，2，4，8，16，32，64不在數(shù)列{a_n}中，由此能求出a₁₀₀，S₁₀₀．

解答： 解：（1）∵13=6+7，
26=5+6+7+8，
∴13和26都是數(shù)列{a_n}中的項．
兩個或兩個以上的連續(xù)正整數(shù)的和可表示為：
a_n=a+（a+1）+••+（a+m）=

(m+1)(2a+m)

2

．
若m為奇數(shù)，則2a+m是{a_n}的大于1的奇因子；
若m為偶數(shù)，則m+1是{a_n}的奇因子，
∵32不含大于1的奇因子，∴32不是數(shù)列{a_n}中的項．
（2）設(shè)M=（2m+1）k，其中m，k∈Z⁺，
當(dāng)m＜k時，M=（k-m）+（k-m+1）+…+（k-1）+k+…+（k-m），
當(dāng)m≥k時，M=（m-k+1）（m-k+2）+…+m+（m-1）+…+（m-k）．
∴對于每一個大于1的奇數(shù)因子的正整數(shù)，
都可以表示成兩個或兩個以上的連續(xù)正整數(shù)的和，
另外，由（1）知不含大于1的奇數(shù)因子的正整數(shù)M都不能表示成兩個或兩上以上的連續(xù)正整數(shù)的和，
∴在前100個正整數(shù)中，
僅1，2，4，8，16，32，64不在數(shù)列{a_n}中，
∴a₁₀₀=107，
S₁₀₀=（1+2+3+4+…+107）-（1+2+4+8+16+32+64）=5651．

點評：本題考查數(shù)列的項的判斷，考查數(shù)列的第100項和前100項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．