【題目】已知拋物線,點
(1)求點與拋物線
的焦點
的距離;
(2)設(shè)斜率為的直線
與拋物線
交于
兩點,若
的面積為
,求直線
的方程;
(3)是否存在定圓,使得過曲線
上任意一點
作圓
的兩條切線,與曲線
交于另外兩點
時,總有直線
也與圓
相切?若存在,求出
的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在實數(shù)
【解析】
(1)由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標,再根據(jù)兩點間的距離公式,即可求出距離;
(2)設(shè)直線的方程為
,代入拋物線的方程,由弦長公式求出
,點到直線的距離公式求出
的高,再依據(jù)三角形的面積公式,解方程可得
,進而得到直線方程;
(3)假設(shè)存在,根據(jù)一般到特殊的原理,取,設(shè)切線為
,聯(lián)立拋物線方程,求出點
以及直線
,由相切可得
.再由特殊到一般,證明對任意的動點
,直線
與圓相切,即可說明存在
,使得直線
與圓
相切.
(1)拋物線的焦點坐標為
,
則點與拋物線
的焦點
的距離為
.
(2)設(shè)直線的方程為
,
把方程代入拋物線
,可得
,
,
,
,
點到直線的距離
,
,
解得,所以直線
的方程
.
(3)假設(shè)存在.取,圓
,設(shè)切線為
,
由,解得
,①
將直線代入拋物線方程
,
解得,
,
直線的方程為
,
若直線和圓相切,可得
②
由①②解得,.
下證時,對任意的動點
,直線
和圓
相切.
理由如下:設(shè),
,
,
由,可得
,
,
,
又直線與曲線相交于,
,
由,代入拋物線方程可得
,
可得,
,
則,
是方程
的兩根,
即有,即
,同理
.
則有,
,
直線,
即為,
則圓心到直線
的距離為
,
由,
代入上式,化簡可得,
則有對任意的動點,存在實數(shù)
,使得直線
與圓
相切.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.若從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知的三個頂點
均在拋物線
上,給出下列命題:
①若直線過點
,則存在
使拋物線
的焦點恰為
的重心;
②若直線過點
,則存在點
使
為直角三角形;
③存在,使拋物線
的焦點恰為
的外心;
④若邊的中線
軸,
,則
的面積為
.
其中正確的序號為______________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和浮動費率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮 | |
上三年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責任交通死亡事故 | 上浮30% | |
某機構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定,,記
為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求
的分布列與數(shù)學期望;(數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車,假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解居民的家庭收入情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機抽取了戶家庭進行問卷調(diào)查,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在
元到
元之間,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出:
(1)經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該社區(qū)居民的家庭月收人(單位:百元)近似地服從正態(tài)分布
,其中
近似為樣本平均數(shù).若
落在區(qū)間
的左側(cè),則可認為該家庭屬“收入較低家庭" ,社區(qū)將聯(lián)系該家庭,咨詢收入過低的原因,并采取相應(yīng)措施為該家庭提供創(chuàng)收途徑.若該社區(qū)
家庭月收入為
元,試判斷
家庭是否屬于“收人較低家庭”,并說明原因;
(2)將樣本的頻率視為總體的概率
①從該社區(qū)所有家庭中隨機抽取戶家庭,若這
戶家庭月收人均低于
元的概率不小于
,求
的最大值;
②在①的條件下,某生活超市贊助了該社區(qū)的這次調(diào)查活動,并為這次參與調(diào)在的家庭制定了贈送購物卡的活動,贈送方式為:家庭月收入低于的獲贈兩次隨機購物卡,家庭月收入不低于
的獲贈一次隨機購物卡;每次贈送的購物卡金額及對應(yīng)的概率分別為:
贈送購物卡金額(單位:元) | |||
概率 |
則家庭預(yù)期獲得的購物卡金額為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
,曲線
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)),
,
為直線
上距離為
的兩動點,點
為曲線
上的動點且不在直線
上.
(1)求曲線的普通方程及直線
的直角坐標方程.
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:,(a>b>0)過點(1,
)且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點為P,過定點(2,﹣1)的直線l:y=kx+m與橢圓C相交于異于點P的A,B兩點,若直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線
的參數(shù)方程為
,以坐標原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線與曲線
兩交點所在直線的極坐標方程;
(2)若直線的極坐標方程為
,直線
與
軸的交點為
,與曲線
相交于
兩點,求
的值.
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