已知的三個頂點
,
,
,其外接圓為
.
(1)若直線過點
,且被
截得的弦長為2,求直線
的方程;
(2)對于線段上的任意一點
,若在以
為圓心的圓上都存在不同的兩點
,使得點
是線段
的中點,求
的半徑
的取值范圍.
(1)或
;(2)
.
【解析】
試題分析:(1)求的外接圓方程可用待定系數(shù)法或利用兩邊垂直平分線的交點先求出圓心,再利用兩點之間距離公式求出半徑,求出圓的方程后再利用待定系數(shù)法求出直線的方程,此時要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論;(2)可設出點
的坐標,再把點
的坐標用其表示,把點
的坐標代入圓的方程,利用方程組恒有解去考察半徑的取值范圍,但要注意
三點不能重合,即圓和線段
無公共點.
試題解析:(1)線段的垂直平分線方程為
,線段
的垂直平分線方程為
,所以外接圓圓心
,半徑
,
的方程為
. 4分
設圓心到直線
的距離為
,因為直線
被
截得的弦長為2,所以
.
當直線垂直于
軸時,顯然符合題意,即
為所求; 6分
當直線不垂直于
軸時,設直線方程為
,則
,解得
,
綜上,直線的方程為
或
. 8分
(2) 直線的方程為
,設
,
因為點是點
,
的中點,所以
,又
都在半徑為
的
上,
所以即
10分
因為該關于的方程組有解,即以
為圓心
為半徑的圓與以
為圓心
為半徑的圓有公共點,所以
, 12分
又,所以
對
]成立.
而在[0,1]上的值域為[,10],故
且
. 15分
又線段與圓
無公共點,所以
對
成立,即
.故
的半徑
的取值范圍為
. 16分
考點:圓的方程,直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系.
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆四川省成都市石室中學高三三診模擬考試理科數(shù)學 題型:填空題
已知的三個頂點均在球O的球面上,且AB=AC=1,
,直線OA與平面ABC所成的角的正弦值為
,則球面上B、C兩點間的球面距離為 。
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年安徽省合肥市高三第一次教學質量檢測文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知的三個頂點都在拋物線
上,且拋物線的焦點
滿足
,若
邊上的中線所在直線
的方程為
(
為常數(shù)且
).
(1)求的值;
(2)為拋物線的頂點,
,
,
的面積分別記為
,
,
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省高三第二次質量檢測文科數(shù)學試卷 題型:選擇題
已知的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P滿足:
,若實數(shù)
滿足:
,則
的值為
A.3 B.
C.2 D.8
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年上海市楊浦區(qū)高三上學期期末學科測試理科數(shù)學 題型:解答題
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知的三個頂點在拋物線
:
上運動,
(1). 求的焦點坐標;
(2). 若點在坐標原點, 且
,點
在
上,且
,
求點的軌跡方程;
(3). 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形
,若存在,求出這個正三角形
的邊長,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年江西師大附中高三理科數(shù)學月考試卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù) 對于定義域內(nèi)任意
都有:
成立.
(2)已知的三個頂點
、
、
都在函數(shù)
的圖象上,且橫坐標依次成等差數(shù)列,求證:
是鈍角三角形,但不可能是等腰三角形.
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