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在某兩個正數x，y之間，若插入一個正數a，使x，a，y成等比數列；若插入兩個正數b，c，使x，b，c，y成等差數列，求證：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
分析：根據某兩個正數x，y之間，若插入一個正數a，使x，a，y成等比數列，得到a=
xy
，在根據插入兩個正數b，c，使x，b，c，y成等差數列，得到b=
2x+y
3
，c=
x+2y
3
，從而將原不等式轉化為關于x，y的關系式，再利用基本不等式即可
解答：解：∵x，a，y成等比數列
∴a2=xy
∵a＞1
∴a=
xy

∵x，b，c，y成等差數列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
2x+y
3
，c=
x+2y
3

∴（b+1）（c+1）=(
2x+y
3
+1)（
x+2y
3
+1）=
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9

∵x＞0，y＞0
∴
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9
≥
2×(2xy)+5xy
9
+2
xy
+1= (
xy
+1)2=（a+1）2
即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
點評：本題考查了基本不等式，等差數列與等比數列的綜合，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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A.有兩個相等的實根                      B.有兩個相異的實根

C.無實數根                                  D.有兩個相等實根或無實根

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