Question

如果拋物線y=ax²－1上總有關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點，試求a的范圍.

Answer 1

解法一:設(shè)拋物線y=ax²－1上關(guān)于x+y=0對稱的相異兩點坐標(biāo)為A(x₀,y₀)、B(－y₀,－x₀).

∵兩點都在拋物線上，

∴ 

①－②，得y₀+x₀=a(x₀²－y₀²).

∵x₀+y₀≠0,∴x₀=.                                                                   ③

③代入②，得a²y₀²+ay₀+1－a=0.

∵y₀∈R,且(x₀,y₀),(－y₀,－x₀)相異，

∴Δ=a²－4a²(1－a)＞0.

∴a＞.∴a的取值范圍是(，+∞).

解法二:設(shè)拋物線上關(guān)于直線x+y=0對稱的兩點所在直線方程為y=x+b,代入y=ax²－1,得ax²－x－b－1=0.

∵x∈R,且兩點為相異兩點，

∴Δ=1+4a(b+1)＞0,

即4ab+4a+1＞0.                                                                                ①

設(shè)兩對稱點為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則

x₁+x₂=,y₁+y₂=+2b.

又∵+=0,

∴++b=0,即b=－.                                                                      ②

②代入①，得a＞.

∴a的取值范圍是(，+∞).