如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)證明PA//平面EDB;
(2)證明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大�。�
方法一: (1)證明:連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO. ∵底面ABCD是正方形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在 而 所以,PA//平面EDB
(2)證明: ∵PD⊥底面ABCD且 ∵PD=DC,可知 ∴ 同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而 由①和②推得 而 又 (3)解:由(2)知, 由(2)知, 設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則 在 在 所以,二面角C-PB-D的大小為 方法二:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè) (1)證明:連結(jié)AC,AC交BD于G,連結(jié)EG. 依題意得 ∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故點(diǎn)G的坐標(biāo)為 ∴ 而 (2)證明;依題意得 ∴ 由已知 (3)解:設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 從而 由條件 ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 所以,二面角C-PB-D的大小為 |
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