(1)解:在等邊三角形ABC中,M為AC中點,BM⊥AC,
在正三棱柱中,C
1 C⊥面ABC,BM?面ABC,∴C
1 C⊥BM,
又 C
1 C∩AC=C,BM?面ABC,
則BM⊥面 A
1 C
1CA,
∠M C
1 B為 B C
1與面 A
1 C
1CA所成角.
在 Rt△C
1CB中,B C
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4145.png)
,在等邊三角形ABC中,BM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
則在 R
t△M C
1 B中,sin∠M C
1 B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10545.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6022ac8432.png)
(2)連接 N C
1,在 Rt△AMN中,由勾股定理可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10546.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6042.png)
,
同理在 Rt△M C
1 C中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10547.png)
,在 R
t△A
1 C
1 N中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10548.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10549.png)
,則NM⊥M C
1,
又BM⊥面 A
1 C
1CA,MN?面 A
1 C
1CA,則BM⊥MN,
又 M C
1∩MB=M,∴MN⊥面 M C
1 B,
又 B C
1?面 M C
1 B,則MN⊥B C
1.
(3)作AD⊥BC,ME‖AD,此時由于M為AC中點,則DE=EC,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10550.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
,且ME⊥BC,
在正三棱柱中,C
1 C⊥面ABC,ME?面ABC,則 C
1 C⊥ME,BC∩C
1C=C,BC,C
1 C均?面BC C
1,ME⊥面BC C
1,
作EH⊥B C
1,連接MH,由三垂線定理得 B C
1⊥MH,∴∠MHE為二面角C-C
1B-M的平面角.
在△MB C
1中,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10551.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10552.png)
,
在 Rt△MEH中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10553.png)
.
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10554.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10555.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10556.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10557.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10558.png)
.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10559.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10560.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10558.png)
,
化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10561.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1542.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10562.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10563.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10564.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10565.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10566.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10567.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10568.png)
.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10544.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10569.png)
.
分析:(1)由等邊三角形ABC的性質(zhì)可得BM⊥AC,由正三棱柱的性質(zhì)可得 C
1 C⊥BM,利用線面垂直的判定定理可得BM⊥側(cè)面ACC
1A
1,于是∠BC
1M是所求的線面角;
(2)利用勾股定理和逆定理即可證明MN⊥MC
1,再利用(1)可得BM⊥MN,利用線面垂直的判定定理即可證明;
(3)作AD⊥BC,ME‖AD,可得ME⊥BC.作EH⊥B C
1,連接MH,利用正三棱柱的性質(zhì)和三垂線定理得 B C
1⊥MH,∴∠MHE為二面角C-C
1B-M的平面角.
利用向量共線定理找出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10570.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10571.png)
的關(guān)系,再利用向量的運算法則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10564.png)
及已知條件即可得出.
點評:熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、正三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線面角的定義、勾股定理和逆定理、三垂線定理、二面角定義和作法、向量共線定理、向量的運算法則是解題的關(guān)鍵.