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已知函數f（x）=3x+
1
3x
．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）利用函數單調性的定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數．
考點：奇偶性與單調性的綜合
專題：計算題,證明題,函數的性質及應用
分析：（1）求函數f（x）=3x+
1
3x
的定義域為R，判斷f（-x）=3-x+
1
3-x
=
1
3x
+3x=f（x）即可；
（2）用定義法證明單調性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結論．
解答： 解：（1）函數f（x）=3x+
1
3x
的定義域為R，
且f（-x）=3-x+
1
3-x
=
1
3x
+3x=f（x），
則函數f（x）為偶函數．
（2）證明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則
f（x1）-f（x2）=3x1+
1
3x1
-（3x2+
1
3x2
）
=（3x1-3x2）（1-
1
3x13x2
）
∵0＜x1＜x2，
∴1＜3x1＜3x2，
∴3x1-3x2＜0，1-
1
3x13x2
＞0；
則f（x1）-f（x2）＜0，
則f（x）在（0，+∞）上是增函數．
點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的證明，奇偶性注意先求定義域，單調性證明一般有兩種方法，定義法，導數法．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若-2＜x＜3，則
1
x
的范圍是（　�。�
A、（-
1
3
，
1
2
）
B、（-∞，-3）∪（2，+∞）
C、(-∞，-
1
2
)∪(
1
3
，+∞)
D、（-3，2）

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科目：高中數學 來源： 題型：

圓錐軸截面的頂角是120°，過頂點的截面面積的最大值為8，則它的體積是（　　）
A、4
3
π
B、8π
C、8
3
π
D、24π

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科目：高中數學 來源： 題型：

設全集U=R，集合M={y|y=x2+2，x∈U}，集合N={y|y=10-3x，x∈M}，則M∪N等于（　�。�
A、{1，3，2，6}
B、{x|2≤x≤4}
C、R
D、∅

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科目：高中數學 來源： 題型：

在由三條直線x-y+2=0，x+y-4=0，x+2y+1=0圍成的三角形內求一點，使其到三直線的距離相等．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調減區(qū)間；
（2）f（x0）=
16
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
x2+2x，x＜0
-x2，x≥0
，若f（f（a））≤3，則實數a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a-
2
2x+1

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（2）求證：不論a為何實數f（x）總為增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

知函數f（x）=
(x-a)2(x≤0)
1
x
+x+a(x＞0)
的最小值為f（0），則a的取值范圍是（　�。�
A、[-1，2]
B、[0，2]
C、[1，2]
D、[-1，0]

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