Question

【題目】已知函數h（x）是定義在（﹣2，2）上，滿足h（﹣x）＝﹣h（x），且x∈（0，2）時，h（x）＝﹣2x，當x∈（﹣2，0）時，不等式[h（x）+2]2＞h（x）m﹣1恒成立，則實數m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

題意說明函數為奇函數，因此可求得時的函數解析式，從而求出此時的取值范圍，在不等式中作為一個整體（如可換設），不等式恒成立采用分離參數法轉化為求函數的最值即可．

h(x）是定義在(﹣2，2)上，滿足h(﹣x）＝﹣h(x)，則h(x)為奇函數，

令x∈(﹣2，0），則﹣x∈(0，2），

∵x∈(0，2）時，h(x)＝﹣2x，

∴當﹣x∈(0，2）時，h(﹣x)＝﹣2﹣x，

又h(x)是定義在(﹣2，2)上的奇函數，

∴h(x)＝﹣h(﹣x)＝﹣(﹣2﹣x)＝2﹣x，

即h(x)＝2﹣x，x∈(﹣2，0)，

當x∈(﹣2，0）時，不等式h2(x)+4h(x)+4＞h(x)m﹣1，即h2(x)+4h(x)+5＞h(x)m①，

由x∈(﹣2，0)時，h(x)單調遞減，故h(x)＝2﹣x∈(1，4)，

把①式參數分離可化為mh(x)，

不妨設t＝2﹣x∈(1，4)，y＝t4，當且僅當t∈(1，4)，取等號，

所以m＜y，即．

故答案為：．