已知數列{an}、{bn}中，對任何正整數n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數列{an}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{bn}是等比數列；
（2）若數列{bn}是等比數列，數列{an}是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
分析：（1）根據等差數列的性質求得數列{a
n}的通項公式，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中，利用錯位相減法求得b
n=2
n-1，進而推斷數列{b
n}是首項為1，公比為2的等比數列．
（2）設等比數列{b
n}的首項為b，公比為q，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中進而求得bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1，整理得（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2，進而求得a
n的表達式，要使a
n+1-a
n是與n無關的常數，必需q=2，進而得出結論當等比數列{b
n}的公比q=2時，數列{a
n}是等差數列，其通項公式是
an=；當等比數列{b
n}的公比不是2時，數列{a
n}不是等差數列．
解答：解：（1）依題意數列{a
n}的通項公式是a
n=n，
故等式即為b
n+2b
n-1+3b
n-2++（n-1）b
2+nb
1=2
n+1-n-2，b
n-1+2b
n-2+3b
n-3++（n-2）b
2+（n-1）b
1=2
n-n-1（n≥2），
兩式相減可得b
n+b
n-1++b
2+b
1=2
n-
得b
n=2
n-1，數列{b
n}是首項為1，公比為2的等比數列．
（2）設等比數列{b
n}的首項為b，公比為q，則b
n=bq
n-1，從而有：bq
n-1a
1+bq
n-2a
2+bq
n-3a
3++bqa
n-1+ba
n=2
n+1-n-2，
又bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1（n≥2），
故（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2
an=×2n+×n+，
要使a
n+1-a
n是與n無關的常數，必需q=2，
即①當等比數列{b
n}的公比q=2時，數列{a
n}是等差數列，其通項公式是
an=；
②當等比數列{b
n}的公比不是2時，數列{a
n}不是等差數列．
點評：本題主要考查了等差數列的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
