Question

設(shè)f（x）=

1

3

ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，確定a的取值范圍，求其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意求導(dǎo)f′（x）=ax²+1，則f（x）=

1

3

ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間可化為ax²+1=0有兩個(gè)不同的根，從而求a的取值范圍，進(jìn)一步求其單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：由題意，f′（x）=ax²+1；
∵f（x）=

1

3

ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，
∴ax²+1=0有兩個(gè)不同的根，
∴a＜0；
ax²+1=0的兩個(gè)根為x=±

-a

a

；
故其單調(diào)增區(qū)間為（

-a

a

，-

-a

a

）；
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

-a

a

），（-

-a

a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．