Question

已知函數(shù)f（x）=-1+2

3

sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）圖象上與原點最近的對稱中心的坐標；
（3）若α，β角的終邊不共線，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由sin（2x+

π

6

）=0可得，x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），于是可求得f（x）圖象上與原點最近的對稱中心的坐標；
（3）由f（α）=f（β）得，2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），α與β不共線⇒α+β=kπ+

π

3

（k∈Z），于是可求得tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（2）由sin（2x+

π

6

）=0得，2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z）；
∴f（x）圖象上與原點最近的對稱中心的坐標為（-

π

12

，0）；
（3）由f（α）=f（β）得，2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），
又α與β不共線，
∴（2α+

π

6

）+（2β+

π

6

）=2kπ+π（k∈Z），即α+β=kπ+

π

3

（k∈Z），
∴tan（α+β）=

3

．

點評：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，考查兩角和正切，考查綜合運算能力，屬于中檔題．