Question

已知數(shù)列{a_n}中，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{n²a_n}的前n項和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使關于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常數(shù)λ的最小值．

Answer 1

解：（1）因為
所以-------（1分）
兩式相減得
所以------------（2分）
因此數(shù)列{na_n}從第二項起，是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列
所以----（3分）
故------------（4分）
（2）由（1）可知當n≥2
當n≥2時，，------------（5分）
∴，------------（6分）
兩式相減得------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，------------（8分）
所以------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等價于，------------（10分）
由（1）可知當n≥2時，
設，則，------------（12分）
∴，
又及，∴所求實數(shù)λ的取值范圍為，
∴-----（14分）
分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{na_n}從第二項起，是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列{n²a_n}的前n項和T_n；
（3）分離參數(shù)，求出相應的最值，即可求常數(shù)λ的最小值．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，正確求數(shù)列的通項是關鍵．