Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1-an2

（n∈N^•），則b₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)a₁=

1

2

，a_n+b_n=1，先求得b₁的值，再根據(jù)b_n+1=

bn

1-an2

，得到b_n+1與b_n的遞推關(guān)系，根據(jù)b_n+1與b_n的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列{

1

bn-1

}，利用等差數(shù)列的定義，證明

1

bn+1-1

-

1

bn-1

是一個(gè)常數(shù)，即可證得數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出

1

bn-1

表達(dá)式，即可求得b₂₀₁₄．

解答： 解：解：（1）∵a_n+b_n=1，且b_n+1=

bn

1-an2

，
∴b_n+1=

1

2-bn

，
∵a₁=

1

2

，且a₁+b₁=1，
∴b₁=

1

2

，
再根據(jù)b_n+1=

1

2-bn

，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1，
∵b₁=

1

2

，
∴

1

b1-1

=-2．
∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn-1

=-n-1，
∴b_n=

n

n+1

．
則b₂₀₁₄=

2014

2015

．
故答案為：

2014

2015

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，以及構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式．屬中檔題．