Question

如圖，過拋物線C₁：x²=2py（p＞0）上第一象限內(nèi)的點P作C₁的切線，依次交拋物線C₂：x²=-2py于點Q，R，過Q，R分別作C₂的切線，兩條切線交于點M．
（1）若點P的坐標為（p，

p

2

），且過拋物線C₁：x²=2py上的點P的切線點（1，0），求拋物線C₁的方程；
（2）在（1）的條件下，（i）證明：點M在拋物線C₁上；
（ii）連接MP，是否存在常數(shù)λ，使得S_△PQM=λS_△MQR？若存在，求出滿足條件的常數(shù)λ，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義和點斜式可得切線的方程，把點（1，0）代入即可得出p；
（2）（i）設點M，Q，R的坐標分別是（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂），分別得出過點Q的切線方程、過點R的切線方程，把直線QR的方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，切線方程聯(lián)立即可得出交點M的坐標，驗證即可；
（ii）由（i）可得x1=2

2

-2，x1-x2=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

，即可得出

S△PQM

S△MQR

=

|PQ|

|QR|

=

2-x1

x1-x2

為定值．

解答： 解：（1）由題意，對拋物線C₁求導得y′=

1

p

x，
∴過拋物線C1：x2=2py上的點P(p，

p

2

)的切線過程為y-

p

2

=

p

p

(x-p)，
將（1，0）代入切線方程，解得p=2，
∴拋物線C₁的方程為x²=4y．  
（2）（i）由（1）得拋物線C₂的方程為x²=-4y，
設點M，Q，R的坐標分別是（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則過點Q的切線方程為y-y1=-

x1

2

(x-x1)，即y=-

x1

2

x+

x 2 1

4

，
過點R的切線方程為y-y2=-

x2

2

(x-x2)，即y=-

x2

2

x+

x 2 2

4

．  
由（1）知直線QR的方程為y=x-1，由

x2=-4y y=x-1

，得x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
由

y=- x1 2 x+ x 2 1 4 y=- x2 2 x+ x 2 2 4

，得x0=

x1+x2

2

=-2，
y0=-

x1

2

•

x1+x2

2

+

x 2 1

4

=-

x 2 1 +x1x2

4

+

x 2 1

4

=-

x1x2

4

=1，
即M（-2，1），而（-2）²=4×1，
∴點M在拋物線C₁上．  
（ii）由（i）可得x1=2

2

-2，x1-x2=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

，
∴

S△PQM

S△MQR

=

|PQ|

|QR|

=

2-x1

x1-x2

=

2-(2 2 -2)

4 2

=

2- 2

2 2

=

2 -1

2

，
即存在滿足條件的常數(shù)λ=

2 -1

2

，使得S△PQM=

2 -1

2

S△MQR．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、導數(shù)的幾何意義與切線的方程、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．