Question

已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（x）=2x²+4x-2．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)k＜

1

2

時(shí)，解不等式

4

f(x)+g(x)

＜

k

x-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則求出P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，代入f（（x）即可得函數(shù)y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）將不等式“移項(xiàng)，通分”，然后化簡等價(jià)轉(zhuǎn)化為（x-1）（x+1）（k（x+1）-1）＞0，根據(jù)k的正負(fù)和根的大小進(jìn)行分類討論，分別求解不等式，即可得到但．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），
∴點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，y），
∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴P′（-x，y）一定在函數(shù)y=f（x）圖象上，
又∵f（x）=2x²+4x-2，
則代入y=2x²+4x-2，可得y=2x²-4x-2，
故函數(shù)y=g（x）的解析式為g（x）=2x²-4x-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x²+4x-2，g（x）=2x²-4x-2，
∴不等式

4

f(x)+g(x)

＜

k

x-1

整理可得，不等式即為

1-k(x+1)

x2-1

＜0，
即等價(jià)于（x-1）（x+1）（k（x+1）-1）＞0，
①當(dāng)k=0時(shí)，不等式即為（x-1）²＜0，解得x∈（-1，1）；
②當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，不等式即為(x-1)(x+1)(x+1-

1

k

)＞0，解得x∈(-1，1)∪(

1

k

-1，+∞)；
③當(dāng)k＜0時(shí)，不等式即為(x+1)(x-1)(x+1-

1

k

)＜0，解得x∈(-1，1)∪(-∞，

1

k

-1)．
綜合①②③，可得當(dāng)k=0時(shí)，解集為（-1，1），
當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，解集為x∈(-1，1)∪(

1

k

-1，+∞)，
當(dāng)k＜0時(shí)，解集為x∈(-1，1)∪(-∞，

1

k

-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解，分式不等式的解法，高次不等式的解法．本題解題的關(guān)鍵是如何進(jìn)行合理的分類討論．對(duì)于分式不等式，一般是“移項(xiàng)，通分”，將分式不等式轉(zhuǎn)化為各個(gè)因式的正負(fù)問題．高次不等式一般選用“穿根法”進(jìn)行求解，“穿根法”要注意先確定各因式的根，在數(shù)軸上按照從小到大標(biāo)出來，確定各因式的系數(shù)為正值，根據(jù)“奇穿偶不穿”的原則，即可得到不等式的解集．屬于中檔題．