Question

已知函數(shù)在與時(shí)，都取得極值．
（1）求的值；
（2）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若對(duì)都有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）f (x)的遞增區(qū)間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區(qū)間為（－，1），當(dāng)x＝－時(shí)，f (x)有極大值，f (－)＝；當(dāng)x＝1時(shí)，f (x)有極小值，f (1)＝－；（3）或．

解析試題分析：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是使導(dǎo)數(shù)等于0的的值，因此本題中一定有和，由此可解出的值；（2）再由可求出，而求單調(diào)區(qū)間，很顯然是解不等式（得增區(qū)間）或（得減區(qū)間），然后可得相應(yīng)的極大值和極小值；（3）不等式恒成立，實(shí)際上就是當(dāng)時(shí)的最大值小于，因此問題轉(zhuǎn)化為先求在上的最大值，然后再解不等式即可．
試題解析：（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．
由題設(shè)，x＝1，x＝－為f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2       3分
經(jīng)檢驗(yàn)得：這時(shí)與都是極值點(diǎn)．      …4分
（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

∴f(x)的遞增區(qū)間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區(qū)間為（－，1）．
當(dāng)x＝－時(shí)，f (x)有極大值，f (－)＝；
當(dāng)x＝1時(shí)，f (x)有極小值，f (1)＝－        …8分
（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上遞增，在（－，1）遞減．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴  f (x)在[－1，2]上的最大值為c＋2．∴ ，∴ 
∴ 或∴ 或   12分
考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)與極值；（2）導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間；（3）不等式恒成立問題．