Question

【題目】已知有窮數列共有項，且.

（1）若，，，試寫出一個滿足條件的數列；

（2）若，，求證：數列為遞增數列的充要條件是；

（3）若，則所有可能的取值共有多少個？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）、、、、或、、、、；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）有窮數列共有項，且，，，，由此能寫出滿足條件的數列；

（2）若數列為遞增數列，由題意得，，，，由此能推導出，由題意得，，，推導出，，，，由，推導出，，，從而數列是遞增數列，由此能證明數列為遞增數列的充要條件為；

（3）由題意得，，，，推導出的所有可能值與最大值的差必為偶數，用數學歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數，由此能求出所有可能取值的個數.

（1）有窮數列共有項，且，，，，

則滿足條件的數列有：、、、、或、、、、；

（2）①充分性：若數列為遞增數列，由題意得：，，，，全加得，；

②必要性：由題意，，，

，，，，

上述不等式全部相加得，，

，所以，不等式，，，均取等號，

所以，，，，則數列為單調遞增數列.

綜上所述，數列為遞增數列的充要條件是；

（3）由題意得，，，，

假設，其中，

，

則，

則中有項、、、、取負值，

則有，（*），

的所有可能值與的差必為偶數，

下面利用數學歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數，

由（*）知，還要從、、、、中任取一項或若干項相加，可以得到從到的所有整數值即可.

①當時，顯然成立；

②當時，從、中任取一項或兩項相加，可以得到從、、中任取一項或若干項相加，可以得到從到的所有整數，結論成立；

③假設當時，結論成立，即從、、、、中任取一項或若干項相加，可以得到從到的所有整數值.

則當時，由假設，從、、、、中任取一項或若干項相加，可以得到從到的所有整數值，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

將、、、、、全部相加，可得，故命題成立.

因此，所有可能的取值共有個.