Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)（異于右頂點(diǎn)），△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)（2，0），過F₂作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|=b²的直線l恰有三條，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為K（x，0），L、M分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PL+LF₁）-（PM+MF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．即為a=2，運(yùn)用對稱思想，即可得到b＞2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞2$\sqrt{2}$，再由e=$\frac{c}{a}$，即可得到所求范圍．

解答 解：點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，
由雙曲線的定義，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為K（x，0），
該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與橫軸的切點(diǎn)．
設(shè)L、M分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．
考慮到同一點(diǎn)向圓引的兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PL+LF₁）-（PM+MF₂）
=LF₁-MF₂=KF₁-F₂K
=（c+x）-（c-x）
=2x=2a，即x=a，
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a．
由題意可得a=2，
再由過F₂作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|=b²的直線l恰有三條，
可得與雙曲線的兩支各有一個交點(diǎn)的有兩條（關(guān)于x軸對稱），還有一條為過F₂垂直于x軸的直線，
即有b²=$\frac{2^{2}}{a}$且b²＞2a，即b＞2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞2$\sqrt{2}$，
則e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用，以及對稱性的運(yùn)用，切線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．