Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+30的值非負(fù)，求關(guān)于x的方程

x

a

+3=|a-1|+1的最大根與最小根．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的值非負(fù)可求出a的取值范圍：-

5

2

≤a≤3，然后解出方程中的x，討論a的取值去掉絕對(duì)值，會(huì)得到兩個(gè)二次函數(shù)，用配方法求二次函數(shù)的最值，從而得到x的最大值和最小值．

解答： 解：f（x）=x²-4ax+2a+30=（x-2a）²+2a+30-4a²；
∴2a+30-4a²≥0，解得-

5

2

≤a≤3；
解方程

x

a

+3=|a-1|+1得：
x=|a-1|a-2a=

a2-3a=(a- 3 2 )2- 9 4 1≤a≤3 -a2-a=-(a+ 1 2 )2+ 1 4 - 5 2 ≤a＜1

；
∴a=-

5

2

時(shí)，x取最小值-

15

4

，a=-

1

2

時(shí)，x取最大值

1

4

；
即x的最大值是

1

4

，最小值是-

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查配方法求二次函數(shù)的最值，對(duì)于含有絕對(duì)值的情況應(yīng)想著去掉絕對(duì)值．