Question

5．某校高一共錄取新生1000名，為了解學(xué)生視力情況，校醫(yī)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力測試，并得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）若視力在4.6～4.8的學(xué)生有24人，試估計(jì)高一新生視力在4.8以上的人數(shù)；

	1～50名	951～1000名
近視	41	32
不近視	9	18

（Ⅱ）校醫(yī)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)成績較高的學(xué)生近視率較高，又在抽取的100名學(xué)生中，對成績在前50名的學(xué)生和其他學(xué)生分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如右數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，校醫(yī)能否有超過95%的把握認(rèn)為近視與學(xué)習(xí)成績有關(guān)？
（Ⅲ）用分層抽樣的方法從（Ⅱ）中27名不近視的學(xué)生中抽出6人，再從這6人中任抽2人，其中抽到成績在前50名的學(xué)生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布表，求出前四組學(xué)生的視力在4.8以下的人數(shù)，然后求解視力在4.8以上的人數(shù)．
（Ⅱ）求出k²，即可說明校醫(yī)有超過95%的把握認(rèn)為近視與成績有關(guān)．
（Ⅲ）依題意，6人中年級名次在1～50名和951～1000名的分別有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，頂點(diǎn)分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由圖可知，前四組學(xué)生的視力在4.8以下，第一組有0.15×0.2×100=3人，第二組有0.35×0.2×100=7人，第三組1.35×0.2×100=27人，第四組有24人．…（2分）
所以視力在4.8以上的人數(shù)為$1000×\frac{100-3-7-27-24}{100}=390$
人．…（4分）
（Ⅱ）${K^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$
，因此校醫(yī)有超過95%的把握認(rèn)為近視與成績有關(guān)．…（8分）
（Ⅲ）依題意，6人中年級名次在1～50名和951～1000名的分別有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.$P（ξ=0）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{2}{5}$，$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}$，$P（ξ=2）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

…（10分）
ξ的數(shù)學(xué)期望$E（ξ）=0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}=\frac{2}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．