Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），離心率為

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜線分別為k₁、k₂．證明：

1

k1

-

3

k2

=2．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀，則k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，由此能證明

1

k1

-

3

k2

=2．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），離心率為

2

2

，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解是a=

2

，b=1，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₀，y₀），∵橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．
點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，
直線PF₁、PF₂的斜線分別為k₁、k₂．
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，
y₀≠0，x₀+y₀=2，
∴

1

k1

-

3

k2

=

x0+1

y0

-

3(x0-1)

y0

=

4-2x0

y0

=

2y0

y0

=2．
∴

1

k1

-

3

k2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查關(guān)于兩直線的斜率的等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線斜率公式的合理運(yùn)用．