Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，前n項和為S_n，且，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項和S′_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由可知q≠1，利用等比數(shù)列的求和公式可得q=3，從而可求{a_n}的通項公式；
根據(jù)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線上，可得，當(dāng)n≥2時，利用b_n=T_n-T_n-1，即可求出{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，可知S'_n=1•3+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，利用錯位相減法，可求{c_n}的前n項和S′_n．
解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由可知q≠1
∵，∴，∴q=3
∵a₁=1，∴
∵數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線上
∴
當(dāng)n≥2時，=n
∵b₁=T₁=1
∴b_n=n
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，∴S'_n=1•3+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3S'_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減，得-2S'_n=1•3+1•3¹+1•3²+…+1•3^n-1-n•3ⁿ=-n•3ⁿ=-n•3ⁿ=，
得  S'_n=．
點評：本題考查數(shù)列的通項與前n項和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查錯位相減法，掌握基本方法是關(guān)鍵．