已知棱長為a的立方體ABCD—EFGH(如圖) ,

⑴在立方體的表面上, 從頂點(diǎn)A到達(dá)正方形CDHG的中心M的最短路線的長度是__________.

1.　　2.　　3.　　4.

⑵最短的路線共有__________條. 

答案：4;2
解析：

 解：⑴設(shè)把從點(diǎn)A出發(fā), 過棱CD, 然后到達(dá)M的路線記作A—CD—M. 在這些路線中最短的是在其展開圖中和AM重合的路線(圖1), 設(shè)該路線和CD的交點(diǎn)為P, 則    DP∶＝a∶a

∴DP＝

即在棱CD上取DP＝的點(diǎn)P, 則折線APM就是所求最短的路線. 它的長度為

 ＝ a 

注：在A─CD─M的所有路線中, 以折線AMP最短, 這是因?yàn)椋涸诶釩D上取不是點(diǎn)P的任意一點(diǎn)Q, 則在展開圖中有AQ+QM＞AM＝AP+PM. 同樣, 在A─DH─M的路線中(圖2), 以在棱DH上取DS＝的點(diǎn)S所形成的折線ASM最短, 且長為a(除此外, 還有其他路線, 但都比a長)

⑵綜上所述,可知在立方體的表面上, 從A到達(dá)M的最短路線只有兩條, 即折線APM和ASM.


提示：

 從展開圖中思考.

練習(xí)冊系列答案
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在坐標(biāo)空間中，有一邊長為2、中心在原點(diǎn)O的正立方體，且各棱邊都與三坐標(biāo)平面平行或垂直，如圖所示。已知A（1，-1，0）、B（0，1，-1）、C（-1，0，1）這三點(diǎn)都是某平面E和正立方體棱邊的交點(diǎn)。試問下列哪些點(diǎn)也是平面E和正立方體棱邊的交點(diǎn)？

[     ]

(1)、
(2)、（-1，1，0）
(3)、（0，-1，-1）
(4)、（-2，1，1）

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