Question

已知實數(shù)a滿足0＜a≤2，a≠1，設(shè)函數(shù)f （x）=x³-x²+ax．
（1）當a=2時，求f （x）的極小值；
（2）若函數(shù)g（x）=x³+bx²-（2b+4）x+ln x （b∈R）的極小值點與f （x）的極小值點相同．
求證：g（x）的極大值小于等于．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)畫出表格，求出函數(shù)的極值
（2）根據(jù)f（x）的極值求出函數(shù)g（x）關(guān)系式從而證明函數(shù)g（x）的極大值小于
解答：解：（Ⅰ）解：當a=2時，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，f（x）的極小值為f（2）=．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）解：f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x²+2bx-（2b+4）+=．
令p（x）=3x²+（2b+3）x-1，
（1）當1＜a≤2時，
f（x）的極小值點x=a，則g（x）的極小值點也為x=a，
所以p（a）=0，
即3a²+（2b+3）a-1=0，
即b=，
此時g（x）_極大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+=．
由于1＜a≤2，
故≤   x2--=．（10分）
（2）當0＜a＜1時，
f（x）的極小值點x=1，則g（x）的極小值點為x=1，
由于p（x）=0有一正一負兩實根，不妨設(shè)x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-．
此時g（x）的極大值點x=x₁，
有g(shù)（x₁）=x₁³+bx₁²-（2b+4）x₁+lnx₁
＜1+bx₁²-（2b+4）x₁
=（x₁²-2x₁）b-4x₁+1 （x₁²-2x₁＜0）
＜-（x₁²-2x₁）-4x₁+1
=-x₁²+x₁+1
=-（x₁-）²+1+（0＜x₁＜1）
≤，＜．
綜上所述，g（x）的極大值小于等于．（14分）
點評：本題考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值