Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-4 ，x∈[2，+∞) 2-x，x∈(-∞，2)

，若關(guān)于x的方程f（x）-kx+k=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、k≤0或k＞1
• B、k＞1或k=0或k＜-1
• C、k＞

  2 3

  3

  或k=0或k＜-1
• D、k＞

  2 3

  3

  或k=0或k＜-

  2 3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）-kx+k=0得f（x）=kx-k，分別作出函數(shù)f（x）和y=kx-k的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求出k的取值范圍．

解答： 解：由由f（x）-kx+k=0得f（x）=kx-k，分別作出函數(shù)f（x）和y=kx-k的圖象，
若k=0時(shí)．直線y=kx-k=0，此時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè) 交點(diǎn)，
即方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一個(gè)實(shí)根，滿足條件．
若k＜-1時(shí)，方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一個(gè)實(shí)根，滿足條件．
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)直線和雙曲線相切時(shí)，有，
由

x2-4

=kx-k，
即x²-4=k²x²-2k²x+k²，
即（1-k²）x²+2k²x-（4+k²）=0，
判別式△=4k⁴+4（1-k²）（4+k²）=0，
整理得3k²-4=0，
解得k²=

4

3

，即此時(shí)k=

2 3

3

，此時(shí)方程f（x）-kx+k=0有2個(gè)實(shí)根，不滿足條件，
∴要使f（x）-kx+k=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則此時(shí)k＞

2 3

3

，
綜上滿足條件的k的取值范圍是k＞

2 3

3

或k=0或k＜-1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的應(yīng)用嗎，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題就的關(guān)鍵．